Title: [PTSI] Développements limités

Q: \( \exp(x) \)
A: \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o_{x \to 0}(x^n) \)

Q: \( \operatorname{ch}(x) \)
A: \( 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o_{x \to 0}(x^{2n}) \)

Q: \( \operatorname{sh}(x) \)
A: \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o_{x \to 0}(x^{2n+1}) \)

Q: \( \cos(x) \)
A: \( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o_{x \to 0}(x^{2n}) \)

Q: \( \sin(x) \)
A: \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o_{x \to 0}(x^{2n+1}) \)

Q: \( \dfrac{1}{1-x} \)
A: \( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + o_{x \to 0}(x^n) \)

Q: \( -\ln(1-x) \)
A: \( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{x^n}{n} + o_{x \to 0}(x^n) \)

Q: \( \dfrac{1}{1+x} \)
A: \( 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 + \cdots + (-1)^nx^n + o_{x \to 0}(x^n) \)

Q: \( \ln(1+x) \)
A: \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} + o_{x \to 0}(x^n) \)

Q: \( \dfrac{1}{1+x^2} \)
A: \( 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots + (-1)^n x^{2n} + o_{x \to 0}(x^{2n}) \)

Q: \( \operatorname{Arctan}(x) \)
A: \( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o_{x \to 0}(x^{2n+1}) \)

Q: \( (1+x)^\alpha \)
A: \( 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +
\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o_{x \to 0}(x^n) \)

Q: \( \sqrt{1+x} \)
A: \( 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^2 + o_{x \to 0}(x^{2}) \)

Q: \( \sqrt{1-x^2} \)
A: \( 1 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{3}{8} x^4 + \cdots + \frac{1.3\cdots(2n-1)}{2.4\cdots.(2n)} x^{2n} + o_{x \to 0}(x^{2n}) \)

Q: \( \operatorname{Arcsin}(x) \)
A: \( x + \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \cdots + \frac{1.3\cdots(2n-1)}{2.4\cdots.(2n)} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o_{x \to 0}(x^{2n+1}) \)

Q: \( \tan(x) \)
A: \( x +\frac{1}{3} x^3 + o_{x \to 0}(x^3) \)